Математические загадки кубика Рубика

Удивительная математика кубика Рубика

Математические загадки кубика Рубика

В наступившем году исполняется 40 лет с тех пор, как кубик Рубика впервые появился на полках магазинов игрушек. Сначала над ним смеялись, говорили, что это очень простая головоломка. Но впоследствии большинство желающих разгадать загадку кубика оказывались в тупике – собрать игрушку, оказывается, не так-то просто.

 

Стоит признать, что эта головоломка действительно сводит с ума. Поэтому нужно раскрыть ее секреты. А кроются они в сфере математических расчетов. Не стоит обращать внимания на пластиковое воплощение кубика Рубика, его суть – это числа.

 

Особенности устройства кубика Рубика

Математические загадки кубика Рубика

У кубика шесть граней, центр каждой из них прикреплен к несущему каркасу, который удерживает куб. Они вращаются только вокруг своей оси. В результате одни и те же цвета всегда оказываются противоположными друг другу. На стандартном кубе формируются такие пары цветов:

  • белый – желтый;
  • красный – оранжевый;
  • синий – зеленый.

 

Кубик Рубика состоит из трех типов блоков. Это центральный каркас, соединяющий центр каждой грани, на которой закреплен одноцветный квадрат. Угловые блоки, которые имеют три цветные стороны, а расположенные по краям элементы – две. Так, структура кубика Рубика включает одно ядро, 8 угловых и 12 элементов, размещенных по краям.

 

Общее количество способов, которыми можно «зашифровать» кубик Рубика: 43 252 003 274 489 856 000. Это значение появляется в результате выполнения вычислений по следующему математическому выражению: (388)(21212)/12.

 

Первая «цифра» – 38 – это количество способов поворота восьмиугольных кубов. При этом угловой блок может размещаться на своем месте тремя различными способами. Это фактор 3 для каждого из восьми угловых кубов, поэтому они умножаются на 38.

 

Есть 8 угловых слотов, поэтому у первого углового блока есть 8 вариантов расположения. У второго углового кубика осталось 7 вариантов, у третьего – 6 и так далее, до последнего углового блока, который размещается в последнем угловом слоте. Это дает следующее вычисление: 8*7*6*5*4*3*2*1, что равно 8, или «восемь факториалов».

 

Таким образом, первый фрагмент выражения (388) учитывает каждый вариант размещения угловых блоков, где 38 – их общее количество способов поворота, а 8 – это их места.

 

Следующая часть выражения (21212) – это такой же расчет, но только для крайних элементов. Они имеют только 2 способа поворота, поэтому 12 блоков имеют в общей сложности 212 вариантов расположения.

Математические загадки кубика Рубика

Оставшаяся операция – деление на 12 – является фактором, который не всегда понимают желающие сложить головоломку. Для его осознания необходимо мысленно выполнить определенный алгоритм действий. Нужно полностью разобрать кубик Рубика, а затем поместить все блоки в случайные слоты. С угловыми элементами расположить только по углам, а с элементами ребер – по краям. Так получается «зашифрованная» головоломка.

 

И тут нужно учесть, что до этого с помощью математического выражения учитывался каждый способ, которым можно было сделать то же самое. А теперь следует ответить на вопрос: можно ли собрать кубик Рубика в таком случае, не разбирая его? И правильный ответ будет – нет.

 

В эту ловушку попадали многие фанаты головоломки. Если разобрать кубик на части и собрать блоки в случайном порядке, то существует только 1 способ из 12 полного решения головоломки.

 

Секрет кроется в алгоритмах

Математические загадки кубика Рубика

Описанный выше эксперимент хорошо виден на фото ниже. Оно дает понимание, почему собранный случайным образом кубик Рубика предоставляет только 1 шанс из 12 решить головоломку. Здесь есть связь с тем, что можно и чего нельзя сделать, перемещая элементы куба. Последовательность ходов фанаты головоломки называют «алгоритмами». Чаще всего используются те, которые подразумевают перемещение нескольких блоков, оставляя остальные нетронутыми. Ограничения алгоритмов являются ключом к цифре «12» в выражении. Она формируется из двух и трех факторов.

 

Фактор 3 сводится к следующему: есть алгоритм, по которому поворачивается каждый из двух разных углов, но нет алгоритма, позволяющего прокручивать только один угол, оставляя все остальные нетронутыми. Поэтому если взять нормальный кубик Рубика, удалить один угол и заменить его другим, решить головоломку будет невозможно.

 

Но если повторить процедуру, повернуть еще один угол, то второй коэффициент 3 не добавится. Теперь, когда 2 угла прокручены, можно применить алгоритм, который позволяет перемещать два угловых элемента, пока хотя бы один из них не встанет на место. Если так случится, что другой займет свое место, то фанат головоломок получит «решаемый» кубик. В целом располагаться угловые блоки могут одним из трех способов.

 

Есть алгоритм сбора кубика Рубика, который подразумевает перемещение двух пар угловых блоков и ребер. Но не существует механизма, который позволял бы двигать только одну пару угловых блоков и ребер. Есть алгоритм, позволяющий работать только с парой ребер, но невозможно собрать головоломку, перемещая только одну грань. Если «вырвать» 2 ребра или 2 угловых блока и поменять их местами, то они взаимно заменят друг друга.

 

Получается, математическое выражение (388)(21212)/12 показывает, сколькими вариантами может шифроваться кубик Рубика. Здесь цифра «12» – это факторы, позволяющие собрать головоломку, и только один из них позволит сделать это полностью без разборки «волшебного кубика».

 

Математическое доказательство алгоритма кубика Рубика

Математические загадки кубика Рубика

Можно ли доказать, что не существует алгоритма, который позволяет переворачивать один крайний кубик, не перемещая другой блок? Да, такое доказательство существует и выглядит следующим образом.

 

Когда грань поворачивается, 4 крайних блока перемещаются. Теперь нужно сделать 10 перемещений для каждого элемента. При этом нужно подсчитать количество действий. Затем надо сложить числа для каждого блока на краю. Общее количество ходов должно равняться 40, так как каждое из 10 перемещений увеличивает их общее количество на 4.

 

Соответственно, сумма ходов для элементов, расположенных на краях, должна быть кратной четырем.

 

При этом если блок на краю перемещается четное количество раз и возвращается на свое место, он будет иметь ту же ориентацию. И наоборот, если элемент перемещается нечетное количество раз и помещается на место, он будет перевернут. Все приведенные выше алгоритмы можно без труда проверить на практике.

 

Теперь стоит рассмотреть схему, которая подразумевает поворот одного элемента на месте, без задействования других. При этом один блок перемещался четное количество раз, в то время как каждый из остальных 11 элементов – нечетное. Сумма из 11 четных чисел и одного нечетного всегда нечетная. И ранее установлено, что она должна быть кратна 4. Но это абсурд, такого не может быть. Вот доказательство отсутствия алгоритма, описанного выше.

 

Как ускорялось решение головоломки и «число Бога»

Математические загадки кубика Рубика

Эрно Рубик сделал свой первый прототип головоломки в 1974 году. Но его серийное производство началось через 6 лет – в 1980 году. Закономерно, что создатель замысловатого кубика первым его и собрал.

Интересно, что математики начали искать решение головоломки еще до старта ее массового производства. Один из них, доктор Дэвид Сингмастер, даже написал руководство под названием «Заметки о «магическом кубе» Рубика». Именно он разработал метод письма для описания поворотов граней, который стал стандартом и получил название Singmaster. Но шло время, и метод неуклонно устаревал. А в наше время на YouTube можно найти множество видеоруководств по сбору головоломки более продвинутыми способами.

 

 

Закономерно, что время, за которое решалась задача, стремительно сокращалось. Мировой рекорд по скорости собирания кубика Рубика на данный момент составляет 3,47 секунды. Прорыв тут совершила доктор Джессика Фридрих. В 1997 году она разработала алгоритм наиболее быстрого решения головоломки. И сегодня элементы этой методики используются для установления новых мировых рекордов.

 

Работа по решению головоломки ведется в двух направлениях:

1. Развитие скорости, оттачивание моторики.
2. Математические расчеты.

Математические загадки кубика Рубика

Но до сих пор неизвестен минимум ходов, необходимых для того, чтобы сложить кубик Рубика. Не определено количество движений, которое позволяло бы решать любой вариант головоломки. Многие считают, что без божественного вмешательства тут не обойтись, поэтому назвали «числом Бога» количество ходов, позволяющее собирать кубик Рубика во всех возможных комбинациях.

 

 

В 1981 году доктор Морвен Тистлетвейт доказал, что на решение любого варианта головоломки нужно не более 52 движений. Так он приблизился к вычислению «числа Бога». Но изыскания продолжились. В июне 2010 года команда из четырех ученых доказала, что за 20 ходов можно решить любой вариант «шифровки» кубика Рубика. Организованный этими энтузиастами сайт содержит передовые алгоритмы решения головоломки.

Математические загадки кубика Рубика

Осталось только вычислить, сколько из общего количества комбинаций (43 252 003 274 489 856 000) распутывается определенным количеством ходов. Например, число позиций, для решения которых требуется один ход, – 18. Это легко подсчитать: есть 6 граней и 3 способа скручивания каждой.

Также нетрудно вычислить, сколько вариантов решается с помощью двух или трех ходов. Но по мере увеличения их количества усложняется подсчет. На сегодняшний день математики остановились на 16 ходах. До 20 осталось немного. И это последние нерешенные моменты для кубика Рубика.

Математические загадки кубика Рубика

 

Оцените новость:
12.02.20 (11:31)
3 180
Источник — © 1gai.ru
Переболели ли вы коронавирусом (или кто-то из ваших родных/знакомых)?

Новостная рассылка


Рассылка анонсов статей производится каждый понедельник