Красота и математика: 13 фантастических чисел, которые нас окружают
О числах и математических терминах, которые будут интересны не только математикам.
Нередко числа находятся с помощью красивых уравнений и формул. А еще они могут обладать математической красотой. Это значит, что их свойства ведут к непредсказуемому результату — привлекательному как визуально, так и интеллектуально.
Ниже мы обсудим 13 удивительных чисел и понятий, от бесконечности до золотого сечения, которые доказывают, что математика — тоже своего рода искусство.
13. Алеф-ноль ℵ0
Алеф-ноль — это наименьшее бесконечное кардинальное число. Возможно, вы подумаете: как же так? Ведь бесконечность — это всего лишь понятие, а не множество бесконечных чисел. В конце концов, если и существует бесконечность, которая больше другой бесконечности, то первая — уже определенно не бесконечность.
Сейчас разберемся. Предположим, у нас есть базовое представление о том, что такое бесконечность (см. пункт 12). Алеф-ноль — это множество натуральных чисел (0, 1, 2, 3 и т. д.). Это понятие (или число) велико по размеру и, в общем-то, бесконечно.
Что, если мы пересчитаем все натуральные числа два или три раза? После завершения первого множества мы получим числа, выходящие за рамки натуральных чисел по порядку. Итак, нам понадобится порядок чисел или порядковый номер. Следующее число после Алеф-ноль — это омега (ω). Затем идет ω + 1. Эти два последних числа — не кардинальные числа, а порядковые (ординалы): то есть они показывают положение элементов относительно горизонтальной оси. График ниже — их упрощенное представление.
Каждое множество чисел может представлять набор множеств натуральных чисел с мощностью ℵ0. Если добавить к первому множеству единицу — это не изменит количество элементов (вы даже можете просто изменить порядок, и у вас все равно останется мощность Алеф-ноль).
Wikipedia
Это позволяет рассматривать их как порядковые величины (ординалы). Следовательно, первое порядковое трансфинитное число после набора — это то, что мы обсуждали выше — омега «ω». Интересно и то, что число ω + 1 необязательно больше ω — оно просто идет после него.
Да, возможно, это слишком для мгновенного понимания. Это то, о чем следует размышлять и к чему следует возвращаться. Поэтому ниже мы расписали все, что вам нужно знать:
Бесконечность и Алеф-ноль — две разные вещи. Первое — это просто идея крайнего предела, лежащая на числовой оси, а второе — размер множества (его мощность).
Кардинальное число — это мощность множества, его размер с точки зрения количества элементов (1, 2, 459, 1002 и т. п.). В то время как ординал или порядковое число — это порядковый тип множества (1-й, 2-й, 66-й и т. д.).
Подобно бесконечным кардиналам, существуют и бесконечные ординалы. И первое бесконечное (несчетное) порядковое число — это омега ω. Его мы обсуждали чуть выше.
Следуя этой логике, Алеф-один является мощностью омеги ω.
А Алеф-ноль — всего лишь первый кардинал из огромного множества других «Алефов».
12. Бесконечность ∞
Это скорее идея или концепция, чем число. Этот символ часто называют лемнискатой. Прежде чем обсуждать характеристики и интересные факты о бесконечности, важно отметить, что число π (см. пункт 4) считается одной из ее форм. Конечно, под этим мы подразумеваем диапазон чисел после запятой в 3,14159… Вот почему бесконечность — это понятие, а не то, что можно выразить количественно. Другой пример: прекрасное поле фракталов. Возьмем, к примеру, простую снежинку Коха, которую можно разделить на бесконечно малые «хлопья» одинаковой формы.
Интересно и то, что, когда мы думаем о бесконечности, мы представляем постоянно растущую меру, но она не расширяется и не становится больше. Она такая, какая есть.
Обсудим две простые темы, связанные с бесконечностью (те, которые не требуют мощной мозговой активности):
Верно ли, что 0,99999 = 1?
Учитывая, что после запятой у нас есть девятки, которые стремятся к бесконечности, мы можем предположить, что 0,99999 приблизительно равно 1. Но существует и алгебраическое доказательство:
Если x = 0,9999, то
10x = 9,9999
Если вычесть x с каждой стороны, то получим:
9x = 9,9999 - 0,9999
9x = 9
Разделим обе стороны на 9 и получим, что:
x = 1
Немного странно, вы не находите?
А то, что ∞ - ∞ = 0?
Любое число, вычтенное из самого себя, даст ноль. Но ведь бесконечность — это не число. Значит, попробуем провести «тест»:
∞ - ∞ = 0
Добавим по 1 с каждой стороны:
∞ - ∞ + 1 = 0 + 1
Зная, что ∞ + 1 = ∞, упростим уравнение:
∞ - ∞ = 1
Мы получили совершенно другой результат. С помощью этого метода мы можем получить бесконечность минус бесконечность, равную любому числу, которое мы хотим. Таким образом, мы не знаем ответ на ∞ - ∞ — он не определен.
В школе нас также учат, что мы не можем делить на 0. Нам говорят, что 1 : 0 не имеет смысла. Что ж, это утверждение нельзя назвать неверным, но в то же время оно не отражает всей истины. Просто подумайте: если вы разделите 1 яблоко на 0 человек, сколько людей вам понадобится, чтобы съесть фрукт? Это форма бесконечности, которая никогда не разрушается.
Итак, получается 1 : 0 = ∞. Тогда почему нас учат, что результат не определен и не имеет смысла?
Когда мы делим 1 на положительные числа, стремящиеся к нулю, легко установить, что 1 : 0 = ∞. Дело в том, что бесконечность — это положительная бесконечность. А если мы разделим 1 на отрицательные числа, которые стремятся к нулю, можно также предположить, что 1 : 0 = -∞. Так что в итоге? 1 : 0 = ∞ или 1 : 0 = -∞? Ответ не определен!
Буква i обозначает мнимое число. Это такое число, квадрат которого дает отрицательный результат. Это не то, о чем мы обычно думаем при возведении чисел в квадрат, потому что мы знаем, что умножение двух одинаковых чисел всегда дает положительный результат. Но это не мешает нам создать аксиому, которая бы изменила правила игры. Мы называем их воображаемыми, потому что их просто не должно быть.
Чему равен квадратный корень из -6? Мы не знаем. Калькулятор выдаст нам ошибку: в конце концов, какие два числа надо перемножить, чтобы получить отрицательное число? Но прелесть математики в том, что в отличие от других научных инструментов, можно предположить, что некоторые вещи существуют, и менять их характеристики, если они вам не подходят.
Концепция мнимых чисел проста. Мы представляем, что они существуют. Чем они полезны? Мы можем решать уравнения, для которых нужен квадратный корень из отрицательного числа.
Вот пример:
Чему равен √4? Это просто: 2.
А √-4? Уже немного сложнее. Ответ будет: - 2i.
Мы добавляем i, чтобы обозначить мнимое число — таким образом мы делаем так, что 2 во второй степени будет равно -4. Давайте разберем очень простое уравнение, которое обычно не имеет решения, и посмотрим, как оно решается с использованием мнимых чисел:
x2 + 1 = 0
Очевидно, что x, возведенный в степень 2, никогда не даст отрицательное число (в нашем случае -1), поэтому мы просто предположим, что ответ будет умноженным на i.
x2 = - 1
x = ± i
Мы можем представить квадратный корень из -1 (√-1) как исходное мнимое число. Как в цифре 1 для действительных чисел.
Есть и другое использование мнимых чисел: их объединяют с натуральными для получения комплексных чисел (например, 7i + 12), а также используют в электричестве.
10. Гугол
Гугол — это число в десятичной системе счисления, который изображается единицей со 100 нулями. И вот так оно выглядит: 10, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000. Или:
А еще его можно представить в виде факториала 70! — то есть 70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59… х 1
Чтобы еще больше вас запутать, существует число под названием «гуголплекс». Это 10 в степени гугол:
Интересный факт: название компании Google представляет собой неправильное написание числа. Хитроумный способ назвать поисковую систему. Число в основном используется в астрономических исследованиях, в частности, в альтернативе теории Большого Взрыва — в Большом замораживании.
9. Цифра 9
Любимое число всех маркетологов (вспомните ценники) и красивое визуально и математически. В геометрии оно часто прячется во многих местах. Например, возьмем круг:
В окружности — 360 градусов (3 + 6 + 0 = 9)
Если разрезать ее пополам, то каждая половина будет равна 180 градусам (1 + 8 + 0 = 9)
Если разрезать на четвертинки, каждая из них будет равна 90 градусам (9 + 0 = 9)
Теперь разрежем окружность на 8 частей. Каждая часть — 45 градусов (4 + 5 + 0 = 9)
Разрежем на 16 частей. Каждая часть получится по 22,5 градуса (2 + 2 + 5 = 9)
Наконец, разрежем его на 32 части. Каждая часть будет равна 11,25 градусов (1 + 1 + 2 +5 = 9)
А теперь начертим внутри окружности правильный многоугольник. Каждый его угол будет равен 60 x 3 (180 = 1 + 8 = 9).
И квадрат. Каждый его угол будет равен 90 x 4 (360 = 3 + 6 + 0 = 9)
Отвлечемся от геометрии. Если сложить цифры, которые предшествуют девяти, то получим 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. И вновь: 3 + 6 = 9
Если умножить цифры, предшествующие 9, на девять и сложить их элементы, сумма будет всегда равна 9. А вот и примеры:
9 х 1 = 9
9 х 3 = 27 = 2 + 7 = 9
9 х 7 = 63 = 6 + 3 = 9
9 х 9 = 81 = 8 + 1 = 9
Разделив цифры на 9, мы всегда получим одну и ту же цифру, повторяющуюся до бесконечности:
1/9 = 0,11111
3/9 = 0,33333
7/9 = 0,77777
8. Число 73
Если вы фанат «Теории Большого взрыва», то, должно быть, вы помните, как Шелдон Купер объяснял, почему 73 — идеальное число:
«Самое замечательное число — 73. Вы, скорее всего, теряетесь в догадках почему. 73 — это 21-ое простое число. Его зеркальное отражение 37 является 12-ым, чье отражение 21 является результатом умножения, не упадите, 7 и 3».
«В двоичной системе 73 — еще палиндром. 1001001, что справа налево читается, как 100100».
Все эти цитаты — из 10 серии 4-го сезона сериала, которая, по определенному стечению обстоятельств, ялвяется 73-м эпизодом сериала (а еще годом рождения Джима Парсонса, актера, сыгравшего Шелдона).
7. Число Эйлера
Названное в честь Леонарда Эйлера, e — иррациональное число и основание натуральных логарифмов. Интересно, что число Эйлера известно с точностью до 1 триллиона цифр. А найти его можно с помощью этой формулы:
Когда n приближается к бесконечности, мы получаем более ясное представление о значении e. Когда n = 100000, e = 2,71827.
Еще одно удивительное свойство e — его наклон является его же значением. Оно также используется в финансах для расчета сложных процентов.
6. Последовательность Фибоначчи
Леонардо Боначчи, также известный как Фибоначчи (это прозвище, означающее «сын Боначчи»), создал одну из самых увлекательных последовательностей в нашей вселенной. И для этого он использовал простые методы сложения, наблюдая за популяциями кроликов.
Несмотря на то, что есть несколько свидетельств, которые говорят о том, что индийские математики вывели последовательность намного раньше, предлагаем придерживаться широко признанного факта, что ее автор — Фибоначчи.
Получить числа Фибоначчи можно с помощью простой формулы для n > 2:
Так, мы получаем последовательность, которая уходит в бесконечность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,….
Ее прелесть в том, что она связана с природой. Например, ее можно обнаружить в цветении артишока и некоторых цветов вроде ромашек.
А что насчет Галактики? Гэри Б. Мэйснер выдвинул интересное и фактически обоснованное предположение, согласно которому размеры Земли и Луны находятся в соотношении Фи, образуя Треугольник, основанный на 1,618.
Но что такое Фи, и что за 1,618?
Wikipedia
Если взять два любых последовательных числа в последовательности, их отношение (Xn / Xn-1) приблизится к 1,618. Это число называется Фи — в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия — или «золотым числом»:
3 : 2 = 1,5
13 : 8 = 1,666
55: 34 = 1,61764
233 : 144 = 1,61805
…
317 811 : 196 418 = 1,61803
Стремясь к бесконечности, значения отношений приближаются к 1,618.
Наверное, многие видели фильм «Роковое число 23», в котором Джим Керри играет Уолтера Спэрроу — человека, который становится одержимым числом 23, после того как читает о нем в книге. Считается, что это число таинственным образом совпадает со многими событиями по всему миру, и, хотя это можно назвать наглядным примером Апофении, все-таки интересно перечислить некоторые «случайности»:
Трагические события 11 сентября можно суммировать до 23, если записать полную дату следующим образом: 9 + 11 + 2 + 0 + 0 + 1 = 23.
Согласно парадоксу дня рождения, 23 — это наименьшее количество случайно выбранных людей, необходимое для получения как минимум 50% вероятности, что в комнате будут хотя бы два человека с одним днем рождения. Любопытства ради: если в комнате будут 70 человек, этот шанс увеличится до 99,99%.
Уильям Шекспир родился 23 апреля и 23 апреля скончался. Конечно, точная дата его рождения неизвестна (он крестился 26-го числа), но широко распространено мнение, что этот день — именно 23 апреля.
Титаник затонул 15 апреля 1912 года. Если сложить все числа в дате (включая месяц), то мы получим: 1 + 5 + 4 + 1 + 9 + 1 + 2 = 23. Конечно, это начинает напоминать искусственный поиск закономерностей, потому что мы сами выбираем даты, которые удачно складываются, и отсеиваем те, что не суммируются так, как надо.
Угол наклона земной оси равен 23,5°. Пусть вас не смущает 5: мы можем представить число в виде суммы 2 + 3, ведь так интереснее.
Послание Аресибо состоит из 1679 бит, разбитых на 73 строки по 23 символа. Конечно, оно придумано людьми, но все же. Послание Аресибо — это радиосигнал, который был отправлен с Земли в космос в поисках разумной жизни.
У человека 23 пары хромосом.
Сумма первых 23 простых чисел равна 874, что делится на 23. Спасибо, Википедия.
Бомба на Хиросиму была сброшена в 8:15. 8 + 15 = Трагическое событие, унесшее тысячи жизней. А еще 8 + 15 = 23.
23 — наименьшее простое число, которое состоит из последовательных цифр.
У рыцарей-тамплиеров было 23 гроссмейстера.
В среднем человеческая кровь циркулирует по всему телу каждые 23 секунды.
4. Пи (π) и Тау (τ)
Знаменитое иррациональное число, представляющее отношение длины окружности к ее радиусу. Сложно найти человека, который никогда его не видел.
Если мы нарисуем круг диаметром 1, тогда длина окружности будет равна 3,14159… что просто обозначается буквой π. Это длина окружности по диаметру.
А теперь к интересным свойствам:
Его цифры идут до бесконечности в случайном порядке, без каких-либо закономерностей и паттернов.
3,14 — это примерно 22/7. Почему примерно? Число π нельзя представить в виде обыкновенной дроби, потому что оно иррационально.
А причем здесь Тау? Некоторые математики спорят над «полезностью» π и предлагают использовать вместо него тау (τ), которое равно 2π. По их словам, оно лучше подходит для вычисления кругов. Если вникнуть в детали, интуиция их не подводит. Но разве можно не любить π?
Кстати, ежегодно 14 марта отмечается день числа Пи (дата в США пишется в виде MM / DD — получается, 3/14).
3. Тождество Эйлера
А вот и главная причина, по которой в заголовке статьи фигурирует слово «красота». Сочетание красивейших математических концепций обычно дает простые результаты. Но для начала вспомним, о каких концепциях идет речь и как мы собираемся их объединить:
Число Эйлера e
Мнимая единица
Число π
Удивительно, но вместе все три образуют уравнение, которое дает простой результат -1:
mathsisfun.com
Но как это вышло?
Как мы уже говорили, i в степени 2 = -1. Леонард Эйлер применил к i ряд Тейлора (разложение функции в бесконечную сумму степенных функций) и вывел следующее уравнение (опустим детали, ведь они выходят далеко за рамки этой статьи):
Если переместить приведенную выше формулу Эйлера на комплексную плоскость (с настоящими и мнимыми числами), мы получим окружность. Включив в уравнение радиус r, мы сможем преобразовать точки в другую форму, например, возведя re в степень ix.
Если мы предположим, что x = π, то получим следующее:
Зная, что cos π = -1 и sin π = 0 — i справа исчезнет:
Мы можем вновь изменить это уравнение, чтобы сделать его более красивым, и добавить еще одно простое число:
2. Число 6174
Это число, также известное как Постоянная Капрекара, имеет отличительную особенность. Вы поймете, какую, когда выполните следующие шаги:
Возьмите любое четырехзначное число (минимум две цифры в нем должны отличаться).
Расположите цифры в порядке убывания и возрастания — вы должны получить два новых четырехзначных числа.
Теперь вычтите меньшее число из большего.
Повторите шаг 2.
Если вы будете повторять эти шаги, вы всегда будете получать 6174 — и это настоящая загадка.
Почему всегда выходит 6174, независимо от того, с каких чисел вы начнете? Давайте разберемся.
Возьмем, к примеру, 2714:
7421 - 1247 = 6174
Или 3687:
8763 - 3678 = 5085;
8550 - 0558 = 7992;
9972- 2799 = 7173;
7731 - 1377 = 6354;
6543 - 3456 = 3087;
8730 - 0378 = 8352;
8532 - 2358 = 6174
Теперь, когда мы получили 6174, мы больше не сдвинемся с этой точки. Потому что 7641-1467 = 6174.
А еще 6174 — число Харшада. Это значит, что оно делится на сумму его составляющих: 6174 / (6 + 1 + 7 + 4) = 6174/18 = 343.
Круто!
1. Золотое сечение
Пожалуй, это самое важное соотношение в мире. Напоминаем: его вывели греки. А вот список его основных характеристик:
Его обратное значение 0,618 равно 1 + 0,618. Следовательно, 1 / ϕ ≈ 1 + ϕ
Золотое сечение встречается в дикой природе. И некоторые деревья — тому подтверждение. Главный ствол пускает ветвь. На следующий год он отдыхает, а через год пускает еще одну ветвь. Получается, изначально есть главный ствол, через год — две ветви, еще через год — три, затем пять, восемь, тринадцать. Учитывая старые и новые ветви, выходит число Фибоначчи.
Считается, что золотое сечение олицетворяет красоту. И хотя это убеждение не доказано, мы думаем, интересно узнать, как человек вообще распознает красоту. Например, лицо. Существует 10-балльная шкала, согласно которой 10 — самый красивый человек. По этой шкале, лица большинства людей оцениваются от 4 до 6. Чтобы получить результат, необходимо измерить длину и ширину лица. Оптимальное значение равно 1,618. Это значит, что длина лица красивого человека должна быть на 1,618 больше его ширины. Позже вычисляются и другие соотношения: нижняя часть носа и нижняя часть подбородка. Наконец, для более точного результата проводятся тесты симметрии. По словам автора шкалы, доктора Шмида, помимо соответствия других характеристик, длина уха на идеальном лице должна быть равна длине носа.
Считается, что соотношение между средним пальцем и мизинцем тоже равно числу золотого сечения (ϕ).
Золотое сечение присутствует и в геометрии. С его учетом выполнены многие здания и произведения искусства. Яркий пример: древнегреческий Парфенон.
Еще один пример золотого сечения — пентаграмма.
Бонус
На самом деле самое большое число из существующих — 40. А вот и доказательство:
